Происходил он из рода потомственных дворян Рязанской губернии и родился 13 октября 1739 года в наследственной вотчине – селе Маркине Зарайского уезда Рязанской губернии. В 13 лет он, тяготясь строгостью отца, самовольно покинул дом родителей и ушел в Москву, где был определён в Морскую академию, помещавшуюся в Сухаревой башне. В следующем, 1753, году за отличное поведение он был переведён в Морской шляхетный корпус. В 1755 году шестнадцатилетний Илларион Повалишин впервые вышел в море на боевом корабле в учебное плавание, через два года его произвели в гардемарины, а в 1758 году он сдал экзамены на мичмана.
В 1760 году Повалишин в 21 год принял боевое крещение в осаде Кольберга. С 1760 по 1762 год молодой офицер, командуя купеческими галиотами, ходил вдоль берегов Пруссии, перевозя грузы для войск, участвовавших в Семилетней войне. Затем его перевели на Север. В 1763 году он занимался транспортировкой железа из Ярославля в Архангельск.
В 1764 году его назначили командиром на вновь построенный боевой фрегат «Гремящий», на котором он в 1765 году совершил переход из Архангельска в Кронштадт. В 1773 году, командуя 36-пушечным фрегатом «Св. Павел», Повалишин под начальством контр-адмирала Грейга в Средиземном море высадил в Морею находившихся на русской службе греков и албанцев. В основных сражениях русско-турецкой войны 1768–1774 годов ему участвовать не довелось. Вскоре был подписан мир с Турцией, и «Св. Павел» в составе последнего отряда русских кораблей в 1775 году вернулся из Средиземного моря в Кронштадт.
На протяжении нескольких лет в жизни Иллариона Афанасьевича не было ничего, кроме военной службы, морских переходов в Северном и Средиземном морях и новых воинских званий, причитавшихся за успешную службу.
1 января 1784 года Повалишин был произведён в контр-адмиралы и в том же году назначен флагманом в Кронштадтскую эскадру. В 1788 году Повалишин снова был послан в Архангельск за построенными там кораблями. В сложных условиях он осуществил переход эскадры в составе 6 кораблей, 4 фрегатов и 3 транспортов из Архангельска на Балтику. По вине вице-адмирала Фондезина во время зимовки у Копенгагена его эскадра оказалась в опасном положении. Корабли ее были разбросаны по рейду и вмерзли в лед. Фондезин был отозван в Петербург, командование его эскадрой было поручено Повалишину. Повалишин прибыл в Копенгаген и принял все меры для спасения судов. Для защиты корпусов ото льда была сделана дополнительная обшивка. Корабль «Пантелеймон» вывели в безопасное место по прорубленному во льду каналу. Удалось справиться и с попыткой шведов сжечь корабли эскадры, ведь в это время русские в очередной раз воевали со шведами. Подкупленный офицером шведского флота Бензонстиерном, шкипер стоящего в порту купеческого судна ирландец Обрион должен был зажечь свое судно, чтобы ветром пламя перебросило на эскадру. Однако его замысел был вовремя раскрыт, судно арестовано, а сам он посажен в тюрьму. Обстоятельство это вызвало неудовольствие императрицы, и Повалишин 30 апреля 1789 года должен был сдать эскадру другому вице-адмиралу.
С 22 по 24 мая 1790 года на корабле «Три иерарха» Повалишин командовал арьергардом в сражении со шведами при Красной Горке, за что был награждён орденом св. Владимира 2-й степени. Возглавлявший кронштадтскую эскадру вице-адмирал Круз писал в реляции от 25 мая: «При сем имею донести, что во все бывшия сражения контр-адмирал Повалишин отметил себя особливою ревностию, бодростию и усердием к службе».
После Красногорского сражения эскадра Круза соединилась с ревельской эскадрой Чичагова. Шведский флот был заблокирован в Выборгском заливе. Адмирал Чичагов поставил Повалишину особую задачу – отрядом из шести кораблей перекрыть западный выход из залива. Пять линейных и один бомбардирский корабль встали на этом фарватере. В тылу у Повалишина расположился отряд контр-адмирала Ханыкова из двух парусных и гребного фрегатов. Эти два отряда приняли 22 июня 1790 года основной удар решившегося на прорыв шведского флота. Кильватерная колонна шведов пробивалась между кораблями «Всеслав» и флагманским кораблем Повалишина «Св. Петр». Остальные русские корабли Повалишин расположил так, что шведы попадали под огонь с разных сторон. Пройдя отряд Повалишина, шведские корабли попали на фрегаты контр-адмирала Ханыкова. Те открыли такой огонь, что заставили шведов изменить курс, при этом несколько вражеских кораблей сели на мель. После полудня, когда шведский флот ушел в Свеаборг, стоявшие на мели корабли шведов спустили флаги.
Выборгское сражение стало последним и самым ожесточенным сражением парусных кораблей русско-шведской войны 1788–1790 годов. Корабли отрядов Повалишина и Ханыкова получили значительные повреждения в рангоуте, парусах и такелаже. Большие потери были в личном составе. За отличия в этом сражении 6 июля 1790 года Повалишина произвели в вице-адмиралы и наградили орденом св. Георгия 2-й степени. В день заключения мира, 8 сентября 1790 года, императрица пожаловала ему сверх того шпагу с бриллиантами и 600 душ крестьян в Полоцкой губернии «за похвальную службу и за храбрые и отличные его подвиги в сражениях».
В 1795 году Повалишин командовал 2-й флотской дивизией и исполнял должность командира Кронштадтского порта. В 1797 году он был пожалован орденом св. Анны 1-й степени и милостивым рескриптом императора. В том же году, 14 сентября, Повалишин уволен по болезни в отставку с сохранением жалованья.
В своем имении Повалишино в Полоцком уезде Белорусской губернии, на берегу реки Дрисса, им были построены школа для крестьянских детей и церковь. 4 апреля (по другим данным, 7 апреля) 1799 года он умер и был похоронен в построенной им церкви. Долгое время его могила считалась затерянной. Однако десять лет назад, весной 2004 года, во время раскопок на месте бывшей церкви в деревне Янковичи обнаружен склеп с фрагментами захоронения вице-адмирала И.А. Повалишина.
Стоит вспомнить сегодня и о том, что два сына И.А. Повалишина – Иван и Григорий – участвовали в войнах с Наполеоном и были удостоены медалей «За взятие Парижа».
На будущей неделе в Рязани будут чествовать уроженца Рязанской губернии, моряка, вице-адмирала И.А Повалишина, которому 24 октября исполнилось бы 275 лет.